对故意伤害宣布逮捕的机关是公安机关,因为根据我们国家法律监督明确的规定,如果是符合批准逮捕的条件的情况之下,是需要由检察院作出相关的决定的,但是之后的执行措施还是需要由公安机关来负责处理。