在公司和员工建立劳动关系的情况下,一个月之内应当签订书面劳动合同,超过一个月应当每月支付双倍工资,超过一年未签订劳动合同视为签订无固定期限劳动合同。如果公司在没有《劳动合同法》规定的可单方解除合同的情况下解除劳动合同,要面临支付赔偿金的责任,此外因为没有签订劳动合同,可能还要支付这几个月的双倍工资。具体数额以实际发放为准。不过你如果有能够证明通知劳动者签订合同,但劳动者拒绝的证据,双倍工资可能免掉。至于你的个人责任,如果主要是前任的问题,那你跟老板解释清楚就行,如果你也有疏忽,那么挨个批评是可能的,但是从你说的这位员工只做了两个月的情况看,就算赔钱,也不会太多,公司不至于因为这个原因辞退你,否则他也可能为此支付代价。所以,不要太紧张。