工伤的存在是事实,你和单位之间也确实存在事实上的劳动合同关系,在用工合同上面的签字应该是你本人所签,可以请求医院开具能够证明是你本人就医的相关证明。只要你能证明不同名字的是你一个人,取得工伤待遇是没有问题的。如果公司不签名,你可以自己申请工伤认定。