明知对方不具有抚养目的送养子女构成犯罪,可能会构成遗弃罪。根据刑法规定,犯此罪情节恶劣的,处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。本罪侵犯的客体是被害人在家庭成员中的平等权利。

法律依据

《刑法》第二百六十一条对于年老、年幼、患病或者其他没有独立生活能力的人,负有扶养义务而拒绝扶养,情节恶劣的,处五年以下有期徒刑、拘役或者管制。第二百六十二条拐骗不满十四周岁的未成年人,脱离家庭或者监护人的,处五年以下有期徒刑或者拘役。