依据我国相关法律的规定，公安机关对案件立案侦查的，是不会以短信的方式通知报案人或者受害人的，公安机关会按办案程序，采取适当方式通知当事人。

《公安机关办理刑事案件程序规定》

第一百六十八条 公安机关接受案件时，应当制作受案登记表，并出具回执。

第一百七十五条 公安机关接受案件后，经审查，认为有犯罪事实需要追究刑事责任，且属于自己管辖的，经县级以上公安机关负责人批准，予以立案;认为没有犯罪事实，或者犯罪事实显著轻微不需要追究刑事责任，或者具有其他依法不追究刑事责任情形的，经县级以上公安机关负责人批准，不予立案。

对有控告人的案件，决定不予立案的，公安机关应当制作不予立案通知书，并在三日以内送达控告人。

哪些案件由公安局立案

犯罪是对社会秩序、公共安全的最严重侵犯，公安机关正是国家的治安保卫机关，肩负着维护社会秩序、保卫公共安全的责任。另一方面，公安机关具有同犯罪作斗争的丰富经验和必要的专门侦查手段、资源，亦使得其能够担负起侦查绝大多数案件的重任。因此，相对于检察院和法院，公安局立案管辖的案件一般来说是最多的。我国《刑事诉讼法》第18条第1款规定：“刑事案件的侦查由公安机关进行，法律另有规定的除外。”

法律另有规定的有：

(1)由人民法院直接受理，不需要经过侦查的自诉案件;

(2)由人民检察院直接立案侦查的案件;

(3)由军队保卫部门负责侦查的军队内部发生的刑事案件;

(4)由国家安全机关立案侦查的间谍案;

(5)由监狱立案侦查的罪犯在监狱内犯罪的案件。

需要特别注意的是，根据六机关《规定》，涉税案件、破坏社会主义市场经济秩序罪由公安机关管辖，人民检察院不应受理;伪证罪、拒不执行判决、裁定罪由公安机关立案侦查，而不应由人民法院直接受理。

另外，对于自诉案件的第二类，被害人向人民法院起诉后，人民法院认为证据不足、可由公安机关受理的，应当移送公安机关立案侦查。被害人向公安机关控告的，公安机关应当受理。