打人逃跑后的法律责任,关键还是要看打人所造成的后果,经鉴定达到轻伤以上的,构成故意伤害罪,依法是三年以下有期徒刑、拘役或者管制的量刑。达不到刑事立案标准的,会按治安案件处理。根据《刑法》第二百三十四条规定的故意伤害罪,故意伤害他人身体的,处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪,致人重伤的,处三年以上十年以下有期徒刑;致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的,处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的,依照规定。《治安管理处罚法》第四十三条规定,殴打他人的,或者故意伤害他人身体的,处5日以上10日以下拘留,并处200元以上500元以下罚款;情节较轻的,处5日以下拘留或者500元以下罚款。有下列情形之一的,处10日以上15日以下拘留,并处500元以上1000元以下罚款:(一)结伙殴打、伤害他人的;(二)殴打、伤害残疾人、孕妇、不满14周岁的人或者60周岁以上的人的;(三)多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。法律依据:《中华人民共和国刑法》第二百三十四条故意伤害他人身体的,处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。犯前款罪,致人重伤的,处三年以上十年以下有期徒刑;致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的,处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。本法另有规定的,依照规定。